TcsMRUEdit *medit 는 상속받은게 아니라 그냥 TTestString Class 에서 사용되고 있는거니깐.. 그냥 상속은 안될 겁니다.
OnButtonClick 이벤트의 함수포인터 이름이 TOnButtonClick 이라면
__property TOnButtonClick OnButtonClick={read=GetOnButtonClick, write=SetOnButtonClick};
처럼 해주시고
void __fastcall TTestString::SetOnButtonClick(TOnButtonClick Value)
{
  medit->OnButtonClick=Value;
}

TOnButtonClick __fastcall TTestString::GetOnButtonClick(void)
{
  return medit->OnButtonClick;
}

대충 이런식으로 해주면 원하는 것을 하실 수 있을 것 같네요.