마우스다운 이벤트보다 팝업메뉴가 먼저 실행되는 것 때문에 그럴겁니다.
님의 코드를 약간 바꿔보았습니다.

먼저 LeftView의 PopupMenu 속성을 NULL로 주시고,
PMenu의 AutoPopup속성을 false로 주세요.

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void __fastcall TLeftView::TreeMouseDown(TObject *Sender,
      TMouseButton Button, TShiftState Shift, int X, int Y)
{
    TTreeNode* pNode = Tree->GetNodeAt(X, Y);
    if(Button == mbRight) {
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        TPoint Pnt(X, Y);
        Pnt = ((TTreeView*)Sender)->ClientToScreen(Pnt);
        //########################

        if(!pNode) {   // 현재 트리노드가 선택되지 않았다.
            if(Tree->Items->Count == 0) {  // 노드 자체가 아무것도 없다. (팝업을 띄움)
                   PMenu->PMDelete->Enabled = false;  // 노드가 없으니 삭제메뉴 필요 없음
                PMenu->PMModify->Enabled = false;  // 노드가 없으니 변경메뉴 필요 없음
                //########################
                PMenu->Popup(Pnt.x, Pnt.y);
                //########################
            }
        } else {  // 트리노드가 선택되었다. 즉, 하나 이상의 트리노드가 존재한다. (팝업을 당근 띄움)
               PMenu->PMDelete->Enabled = true;  // 노드가 있으니 삭제메뉴 사용가능
            PMenu->PMModify->Enabled = true;  // 노드가 있으니 변경메뉴 사용가능
            //########################
            PMenu->Popup(Pnt.x, Pnt.y);
            //########################
        }
    }
}
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컴파일을 해보지는 않았지만.. 이런 방법으로 하셔도 될 것 같습니다.